炎德英才大联考·湖南师大附中2022届模拟试卷(三)3数学答案

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22.解：(1)若关于x的不等式mf(x)≤ex十m一1在(0,十∞)上恒成立，即m(e+ex-1)≤ex-1在(0，十∞)上恒成立，.x>0,∴.er十er-1>0,即m≤。车在0，十∞)上恒成立，设1=e(>1),则m≤，在1，十∞)上恒成立t-1(t-1)2+(t-1)+1=当且仅当t=2,即x=ln2等号成立，m≤-，即m的取值范围为(-，-号](6分》(2)由已知a>2(e+。),令h(x)=x-(e-1)lnx-1,h'(x)=1-e-1,由h'(x)=1-e二=0，解得x=e-1.当0 e一1时，h(x)>0,此时函数单调递增.∴.h(x)在(0，十∞)上的最小值为h(e一1).注意到h(e)=h(1)=0,由h'(x)=1-e二1=0，解得x=e-1.当0 e一1时，h(x)>0,此时函数单调递增..h(x)在(0，十o∞)上的最小值为h(e一1).注意到h(e)=h(1)=0,①a∈(2(e+号)，e)=(1,e)时，h(a)<0,即a-1<(e-l)lna,从而e-1 h(e)=0,即a-1>(e-1)lna,从而e“-1>a-1.综上可知：当2（(e+。) e时，ea-1>a-1.(12分)

21.(12分)【解析】(1)由题意知A(0,b),F(c,0),因为△AOF的面积为1，所以Sao=)bC=1.又直线4AF的方程为+二=1，即br+gy-bc=0,因为点0到直线AF的距离为25所以-25bc解得c=2,b=1(b<2),a=5,所以椭圆C的标准方程为+y=1.(4分)5(2)依题意，当直线MN的斜率为0时，不符合题意：当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x=my+2(m≠0)，写+yr1r得m+5r+m1-0.x=my+2联立易知△=16m2+4m2+5=20(m2+1>0.设小6，小则男+为=5为=4mm2+5因为ME1x轴，NQ1x轴，所以E(x,0),Q(,0),所以直线QMy=,Y(x-x)O,x1-X2直线NEy=片.-x)②.x2-x联立①2解得x,=业+丛_+2出+m,+2出24加业-三片+3片+片+y2因为ME/NQ,ME与直线x=平行.所以Sw=Sae-Se=Ngk-=Hx卡-mwl因为丛=1乃+48w+加州g0*g-09g由5xm_5.得m-6m+9=0,4m2+516解得m=士5，故存在直线/的方程为x-V3y-2=0或x+V5y-2=0,使得△PW的面积等于(12分)16